2008학년도 6월 모의평가 (수리영역-나형)  정답 및 해설

1.

[eqn: log_8 2root2 = log_{2^3}} 2^{{ 3} over {2 }}= { 1} over { 3}×{ 3} over {2 } log_2 2` ={ 1} over {2 }]

ꂼ ④

2.

[eqn: X+Y = pmatrix{2&1#-1&0}`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: Y= pmatrix{1&-1#-1&2}`]  [eqn: cdots㉡`]

㉠-㉡에서 [eqn: X= pmatrix{1&2#0&-2}`]

∴ [eqn: 2X = pmatrix{2&4#0&-4}`]

ꂼ ⑤

3.

[eqn: lim _{n -> INF } {{2 CDOT 3 ^{n+1} +5} over {3 ^{n} -1}}]

[eqn: =][eqn: lim _{n -> INF } {{2 CDOT 3+ {5} over {3 ^{n}}} over {1- {1} over {3 ^{n}}}}]

[eqn: =6]

ꂼ ④

4.

방정식 [eqn: pmatrix{ ``a``&``-1``#``b-1``&``~~1``} pmatrix {``x``#``y``} = pmatrix{``1``#``2``}]가 해를 갖지 않으려면

행렬 [eqn: pmatrix{ ``a``&``-1``#``b-1``&``~~1``}]의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

[eqn: a times 1 - (-1) times (b-1)=0]

[eqn: a+b-1=0]

∴ [eqn: a+b=1`]

ꂼ ①

5.

[eqn: A^2 = pmatrix{1+ab&a#b&ab+4}]이므로 [eqn: A^2 = A]에서

[eqn: 1+ab =-1]	∴ [eqn: ab = -2]

∴ [eqn: (a+b)^2 = a^2 +b^2 +2 a b]

[eqn: = 10+2(-2)=6]

ꂼ ①

6.

(i) 진수조건에 의하여

[eqn: x-5>0], [eqn: x-6>0]

[eqn: therefore] [eqn: x>6]…㉠

(ii) [eqn: log_{1 over 2} (x-5) + log_{1 over 2}(x-6) > log_{1 over2} 2] 에서

[eqn: log_{1 over 2} (x-5)(x-6) > log_{1 over2} 2] 이므로

[eqn: (x-5)(x-6)< 2], [eqn: x^2 -11x + 28<0]

[eqn: (x-4)(x-7)<0]

[eqn: therefore] [eqn: 4<x<7]…㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: 6<x<7]

[eqn: therefore] [eqn: alpha+beta = 6+7= 13]

ꂼ ③

7.

[eqn: lim_n->inf {2a_n -3 } over {a_n +1 } `= { 3} over { 4}] 에서

[eqn: {2a_n -3 } over {a_n +1 } `= b_n] 이라 하면 [eqn: lim_n->inf b_n `= { 3} over { 4}]

또한 [eqn: a_n = {3 +b_n } over {2-b_n } `] 이므로

[eqn: lim from { n -> inf }a_n = lim from { n -> inf }{3 +b_n } over {2-b_n } `]

[eqn: ={3 +{ 3} over {4 } } over {2-{ 3} over {4 } } ` =3]

ꂼ ③

8.

[eqn: 1<= log n <3`]에서 [eqn: 10<= n<1000`]

[eqn: log_2``n`]이 정수이려면

[eqn: n= 2^k`]([eqn: k`]는 정수)의 꼴이어야 한다.

[eqn: 10<= n<1000`]이므로

[eqn: 10<= 2^k < 1000`]에서

[eqn: k= 4,5,6,7,8,9`]

따라서, 자연수[eqn: n`]은 [eqn: 2^4 , 2^5 , 2^6 , 2^7 , 2^8 , 2^9`]의 6개이다.

ꂼ ④

9.

[eqn: 2 ^{x} =- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +k]에서

[eqn: (2 ^{x} ) ^{2} -k` CDOT 2 ^{x} +1=0]

두 점 [eqn: rm A,``B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha ,``` beta]라 하면 위의 방정식의 근이므로

[eqn: 2 ^{alpha } +2 ^{beta } =k]   ----㉠

한편, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]는 함수 [eqn: y=2 ^{x}]위의 점이므로 [eqn: rm A it ( alpha ,``2 ^{alpha } )], [eqn: rm B( it beta ,``2 ^{beta } )]로 놓으면 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 0,`` {5} over {4} RIGHT )]이므로

[eqn: {2 ^{alpha } +2 ^{beta }} over {2} = {5} over {4}]   ----㉡

따라서 ㉠과 ㉡에서

[eqn: k= {5} over {2}]

ꂼ ⑤

<다른풀이>

두 점 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]는 함수 [eqn: y=2 ^{x}]위의 점이므로 [eqn: rm A it ( alpha ,``2 ^{alpha } )], [eqn: rm B( it beta ,``2 ^{beta } )]로 놓으면 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 0,`` {5} over {4} RIGHT )]이므로

[eqn: {alpha + beta } over {2} =0] ---㉠,  [eqn: {2 ^{alpha } +2 ^{beta }} over {2} = {5} over {4}]---㉡

㉠에서 [eqn: beta =- alpha]이므로 ㉡에 대입하면

[eqn: {2 ^{alpha } +2 ^{- alpha }} over {2} = {5} over {4}]

[eqn: 2(2 ^{alpha } ) ^{2} -5 CDOT 2 ^{alpha } +2=0]

[eqn: (2 CDOT 2 ^{alpha } -1)(2 ^{alpha } -2)=0]

[eqn: THEREFORE `` alpha =-1] 또는 [eqn: alpha =1]

이 때, [eqn: it rm A it (1,``2)], [eqn: rm B LEFT ( -1,`` {1} over {2} RIGHT )]라 하면 이 두 점은 곡선 [eqn: y=- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +k]위의 점이므로

[eqn: 2=- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} +k]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k= {5} over {2}]

10.

ㄱ. [eqn: R(16,``4)= root {16} of {4}]

[eqn: = root16 of 2^2][eqn: = root8 of 2]

[eqn: =R(8, ``2)] (참)

ㄴ. [eqn: R(`a, ``5`) cdot R(`b, ``5`)]

[eqn: = roota of 5 cdot rootb of 5][eqn: =a^{1 over5 } cdot b^{ 1over 5}]

[eqn: =5 ^{ 1over a + 1over b }][eqn: =5^{a+b over ab }]

[eqn: R(a+b , 5) = roota+b of 5``][eqn: = 5^{ 1over a+b }]

∴ [eqn: R(a, ``5`) cdot R(b, ``5`) != R(a+b, ``5`` )] (거짓)

ㄷ. [eqn: R(a,`b `) = root a ofb `][eqn: =b^{1 over a }][eqn: = k]

[eqn: 1over a = log_b ``k``][eqn: = 1over { log_k ``b }]

∴ [eqn: a= log_k ``b``] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ③

11.

ㄱ. [eqn: A^2 = A]의 양변에 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A^3 = A^2 = A] (참)

ㄴ. [eqn: B^2 = (-A)^2 = A^2 = A= -B] (참)

ㄷ. [eqn: A^2 = A]에서 [eqn: A^2 - A = O]이므로

[eqn: (A+3E)(A-4E)= -12E]

∴ [eqn: (A+3E)^-1 = - 1over 12 (A-4E)]

따라서 [eqn: A+3E]는 역행렬을 갖는다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

12.

여학생 수를 [eqn: x]라 하면 전체 학생수는 [eqn: 2x] 이므로

남녀 구분 없이 3명의 대표를 선출하는 경우의 수는

[eqn: `_2x C_3]

여학생 중에서 3명의 대표를 선출하는 경우의 수는

[eqn: `_x C_3]

따라서, [eqn: `_2x C_3 = 10 `_x C_3] 이므로

[eqn: {2x(2x-1)(2x-2) } over 3cdot2cdot1 = 10 times {x(x-1)(x-2)} over 3cdot2cdot1]

[eqn: 2(2x-1)=5(x-2)] ([eqn: ∵][eqn: x>=3])

[eqn: 4x-2 = 5x-10]

[eqn: therefore] [eqn: x=8]

ꂼ ②

13.

점 A, B는 [eqn: y=8^x]위의 점이고 [eqn: y]좌표    가 각각 [eqn: a, ``b]이므로

[eqn: A`(`log_8 a ,``a``) ,~B(log_8 b ,``b``)]

따라서 [eqn: △AEB]의 넓이는

[eqn: { 1} over {2 } × bar AE` ×` bar BE]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _8 a -`log _8 b `)]

[eqn: =20]

즉

[eqn: { 1} over {3 } ×{ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _2 a -`log _2 b `) =20]

[eqn: { 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _2 a -`log _2 b `) =60]---- ㉠

한편 점 C, D는 [eqn: y=4^x]위의 점이고[eqn: y]좌

표   가 각각 [eqn: a, ``b]이므로

[eqn: C`(`log_4 a ,``a``) ,~D(log_4 b ,``b``)]

따라서 [eqn: △CDF]의 넓이는

[eqn: { 1} over {2 } × bar DF` ×` bar FC]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _4 a -`log _4 b `)]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×{ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _2 a -`log _2 b `)]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×60]([eqn: ∵``] ㉠ )

[eqn: =30]

ꂼ ③

14.

[eqn: n=k`]일 때, [eqn: a_k < 2 over k+1`]이라고 가정하면

[eqn: n=k+1`]일 때,

[eqn: a_k+1 = { 1! + 2!+ 3! + cdots + (k+1)!} over {(k+2)!}`]

[eqn: = 1over k+2 cdot { 1! + 2! + 3! + cdots + (k+1)!} over { (k+1)!}`]

[eqn: = 1over k+2 left{ 1+ {1! +2!+ 3! +cdots + k!} over {(k+1)!}`right}`]

[eqn: =][eqn: leftꎴ 1over k+2 rightꎵ`][eqn: ( 1+ a_k )`]

[eqn: < `1over k+2 left( 1+ 2over k+1 right)`]

[eqn: = 1over k+2 + leftꎴ{ 2over{ (k+1)(k+2)}`}`rightꎵ`]

이다.

자연수[eqn: k`]에 대하여 [eqn: 2over k+1 <= 1`]이므로

[eqn: 2over {(k+1)(k+2)}= 2over k+1 cdot 1over k+2 <= 1over k+2`]

이고, [eqn: a_k+1 < 1over k+2 + 1over k+2 = 2over k+2`]이다.

ꂼ ②

15.

아래 그림에서 [eqn: △ rm O _{1} rm O _{2} P _{1}], [eqn: △ rm O _{1} Q _{1} O _{2}]는 정삼각형이므로 [eqn: ANGLE rm P _{1} O _{2} Q _{1} = {2} over {3} pi]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: {2} over {3} pi]

또, 아래 그림에서 중심이 [eqn: rm O _{it n rm}]인 원에서 호 [eqn: rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm}]에 대한 중심각은  [eqn: ANGLE rm P _{it n rm} rm O _{it n+1 rm} rm Q _{it n rm}], 원주각은 [eqn: ANGLE rm P _{it n rm +1} rm O _{it n+2 rm} rm Q _{it n+1 rm}]이므로

[eqn: ANGLE rm P _{it n rm +1} rm O _{it n+2 rm} rm Q _{it n+1 rm}]

[eqn: = {1} over {2}][eqn: ANGLE rm P _{it n rm} rm O _{it n+1 rm} rm Q _{it n rm}]

[eqn: rm P _{it n}]

[eqn: rm Q _{it n+1 rm}]

[eqn: rm O` _{it n rm +1}]

[eqn: rm Q _{it n}]

[eqn: rm O` _{it n rm +2}]

[eqn: rm P _{it n+1 rm}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ANGLE rm P _{it n rm} rm O _{it n+1 rm} rm Q _{it n rm}][eqn: = {2} over {3} pi TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

따라서,

[eqn: S _{n} = {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES LEFT { {2} over {3} pi TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: = {pi } over {3} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{pi } over {3}} over {1- {1} over {2}} = {2} over {3} pi]

ꂼ ②

16.

[eqn: p_1= p-1]

[eqn: p_2 = p_1 - 2 = p-(1+2)]

[eqn: p_3 = p_2 -3 = p- (1+2+3)]

[eqn: cdots cdots]

[eqn: p_n = p- (1+2 +3 + cdots + n )]

∴ [eqn: p_n = p- {n(n+1)} over 2]

[eqn: 2p_n = 2p - n(n+1)][eqn: = n+1`]

∴ [eqn: p = {(n+1)^2 } over 2]

ꂼ ②

17.

[그림1]의 점 [eqn: rm B]를 수직선의 원점으로 생각하고 삼각형 [eqn: rm ABC]가 회전하면서 수직선 위를 움직인다고 생각하자.

변 BC가 수직선 위에 놓이는 순간의 점 B의 좌표를 차례로 나열하면

3, 6, 9, 12, ⋯

그런데, 정사각형의 둘레의 길이는 8이므로 정삼각형이 정사각형의 둘레를 [eqn: 3n-2] 바퀴 도는 동안 수직선 위를 움직인 거리는

[eqn: 8(3n-2)][eqn: =][eqn: 24n - 16]

이 때, 변 BC가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수는 수직선 위의 [eqn: 0<x< 24n - 16]인 범위에

서 [eqn: x]좌표가 [eqn: 3]의 배수인 점의 개수와 같다.

∴ [eqn: a_3n-2`][eqn: = left[ 24n-16 over 3 right]][eqn: =8n-6]

∴ [eqn: lim_n->inf a_3n-2 over n][eqn: =lim_n->inf 8n-6 over n = 8]

ꂼ ①

18.

[eqn: a_47 = sum from k=1 to 47 a_k - sum from k=1 to 46 a_k]

[eqn: = (47^2 + 47 )- (46^2 + 46 )]

[eqn: = (47^2 - 46^2 ) + (47-46)]

[eqn: = (47-46)(47+46)+1]

[eqn: = 94]

ꂼ 94

19.

[eqn: A = pmatrix{{ 0 } &{ a }``#{ 3 } &{3 }``}], [eqn: B = pmatrix{{ 3 } &{ -5 }``#{ -1 } &{2 }``}]

에서 [eqn: B^-1 = pmatrix{{ 2 } &{ 5 }``#{ 1 } &{3 }``}]  이므로

[eqn: AB^-1 = pmatrix{{ 0 } &{ a }``#{ 3 } &{3 }``} pmatrix{{ 2 } &{ 5 }``#{ 1 } &{3 }``} = pmatrix{{ a } &{ 3a }``#{ 9 } &{24 }``}]

[eqn: B^-1 A = pmatrix{{ 2 } &{ 5 }``#{ 1 } &{3 }``}pmatrix{{ 0 } &{ a }``#{ 3 } &{3 }``} = pmatrix{{15 } &{ 2a+15 }``#{ 9 } &{a+9 }``}]      [eqn: pmatrix{{ a } &{ 3a }``#{ 9 } &{24 }``} = pmatrix{{ 15 } &{ 2a+15 }``#{ 9 } &{a+9 }``}]

[eqn: ∴```a=15]

ꂼ [eqn: 15`]

20.

[eqn: (x-1)^n`]의 전개식에서 일반항은

[eqn: `_n C_r```x^r `(-1)^n-r`] ([eqn: r=0,1,2,cdots , n `])

이고, [eqn: x`]항은 [eqn: r=1`]일 때이므로

[eqn: x`]의 계수는

[eqn: `_n C_1 ``(-1)^n-1` = (-1)^n-1 `cdot n`]

이다. 따라서, [eqn: (-1)^n-1 cdot n = -12`]에서

[eqn: n= 12`]

ꂼ 12

21.

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =4n-3]에서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 계차수열은 [eqn: LEFT { 4n-3 RIGHT }]이므로

[eqn: a _{10} =a _{1} + sum _{k=1} ^{9} (4k-3)]

[eqn: =`3`+`4 CDOT {9 CDOT 10} over {2} -3 CDOT 9]

[eqn: =156]

ꂼ [eqn: 156`]

22.

함수 [eqn: y= log_2 ``x `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동 시키면

[eqn: y= log_2 ``(x-a)`]

의 그래프가 된다. 이 그래프가 함수 [eqn: y= log_b ``x`]의 그래프와 점 [eqn: (9,``2)`]에서 만나므로

[eqn: log_2 `(9-a) = 2`]에서

[eqn: 9-a= 2^2]

∴ [eqn: a=5`]

한편, [eqn: log_b ``9 = 2 `]에서

[eqn: 9 = b^2]

[eqn: b>0`], [eqn: b!=`1]이므로

[eqn: b=3`]

∴ [eqn: 10a+b = 10 cdot5 +3]

[eqn: =53`]

ꂼ 53

23.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 8(n-1)<k<=8n]인 자연수 [eqn: k]는 원 [eqn: O_n]위에 있다.

따라서 [eqn: 8times59 <475<= 8 times 60]이므로 [eqn: 475]는 원 [eqn: O_60] 위에 있다.

∴ [eqn: m=60]

또, 주어진 그림에서 8, 16, 24, ⋯ 즉, [eqn: 8times1,~8times2,~8times3,~8times4 ,~cdots]가 놓여 있는 직선을 차례로 나열하면

[eqn: l_4 ,~l_3 ,~l_2 ,~l_1 ,~l_4], [eqn: l_3 ,~l_2 ,~l_1 ,~l_4 ,~⋯]

그런데, [eqn: 475=8×59+3]에서 [eqn: 59=4×14+3]이므로 [eqn: 472=8×59]는 직선 [eqn: l_2] 위에 있다.

따라서 473, 474, 475는 차례로 직선 [eqn: l_2 ,~l_3 ,~l_4] 위에 있다.

∴ [eqn: n=4]

∴ [eqn: m+n=64]

ꂼ 64

24.

조건 (나)에서

[eqn: b-a=2^3 = 8]…㉠

조건 (다)에서

[eqn: c-b=2^2 = 4]…㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: c-a = 12]…㉢

㉠에서 [eqn: b= a+8], ㉢에서 [eqn: c= a+12] 이고 조건 (가)에 의하여

[eqn: 9<=b<=13], [eqn: 13<=c<=17]

따라서, [eqn: k]의 최대값을 [eqn: M], 최소값을 [eqn: m]이라 하면

[eqn: M= 5+13+17 = 35], [eqn: m = 1+9+13 = 23]

[eqn: THEREFORE] [eqn: M+ m= 58]

ꂼ [eqn: 58]

25.

운전석에 앉는 경우의 수는 2가지이고

가운데 줄에 영희와 철수가 앉는 경우의     수는 [eqn: `_3 P_2]

나머지 사람들이 세 자리에 앉는 경우의    수는 [eqn: 3`!]이므로  구하는 모든 경우의 수는

[eqn: 2 ×`_3 P_2 × 3`! = 2 ×`3 × 2 ×`3 × 2 × 1= 72]

ꂼ 72

26.

[eqn: 5^logb = a^{2log5}`= 5^{ 2log a}`]에서

[eqn: log b = 2log a`]  ∴ [eqn: b= a^2`] [eqn: cdots㉠`]

행렬[eqn: pmatrix{a&-1#-b&2`}`]가 역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: 2a-b = 0`] 즉, [eqn: b= 2a`] [eqn: cdots㉡`]

㉠,㉡에서 [eqn: a^2 = 2a`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=2`]

㉠에서 [eqn: b= 4`]

∴ [eqn: ab = 2 cdot 4 = 8`]

ꂼ ①

27.

ㄱ. [eqn: LEFT { f LEFT ( {a} over {5} RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT ( `log` _{5} ` {a} over {5} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( -`log` _{5} ` {a} over {5} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( `log` _{5} ` {5} over {a} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT { f LEFT ( {5} over {a} RIGHT ) RIGHT } ^{2}] <참>

ㄴ. [eqn: LEFT { f(a+1)-f(a) RIGHT } - LEFT { f(a+2)-f(a+1) RIGHT }]

[eqn: =2f(a+1)- LEFT { f(a)+f(a+2) RIGHT }]  [eqn: =2`log` _{5} `(a+1)`-` LEFT { `log` _{5} a`+`log` _{5} (a+2) RIGHT }]

[eqn: =`log` _{5} `(a+1) ^{2} `-`log` _{5} `a(a+2)]

[eqn: =`log` _{5} ` {(a+1) ^{2}} over {a(a+2)}]

[eqn: =`log` _{5} ` {a ^{2} +2a+1} over {a ^{2} +2a}]

[eqn: =`log` _{5} ` LEFT ( 1+` {1} over {a ^{2} +2a} RIGHT )]

[eqn: >`log` _{5} 1][eqn: =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(a+1)-f(a)>f(a+2)-f(a+1)] <참>

ㄷ.

[eqn: f(a)<f(b)]에서

[eqn: log` _{5} `a<`log` _{5} `b]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a<b]

한편, [eqn: f(x)`=`log` _{5} `x]에서 [eqn: f ^{-1} (x)`=`5 ^{x}]이고 [eqn: f ^{-1} (x)]는 증가함수이므로

[eqn: f ^{-1} (a)<f ^{-1} (b)]  <참>

ꂼ ⑤

28.

현재 모든 휴대용 저장 장치의 가격이 한 달 전보다 모두 [eqn: 40%`]씩 하락하였으므로 지불해야 할 금액은

[eqn: 3 over 5 cdot a cdot 16b + 3 over 5 cdot 3over 2 a cdot 8b + cdots + 3 over 5 left( 3over 2 right)^4 a cdot b]

[eqn: = 3over5 ab left{ 1cdot 16 + 3 over 2 cdot 16 over 2 + left( 3over 2 right)^2 cdot 16 over 2^2]

[eqn: + left( 3over 2 right)^3 cdot 16 over 2^3 + left( 3over 2 right)^4 cdot 16 over 2^4 right}]

[eqn: = 48over5 ab left{ 1 + 3 over 4 + left( 3over 4 right)^2 + left( 3over 4 right)^3 + left( 3over 4 right)^4right}]

[eqn: = 48over5 ab cdot{ 1 cdot left{ 1- left( 3 over 4 right)^5 right}} over{1- 3over 4}][eqn: = 192over5 ab left{ 1- left( 3 over 4 right)^5 right}]

ꂼ ④

29.

[eqn: abcde]가 5의 배수이므로

[eqn: e=5]

따라서 구하는 자연수의 개수는 [eqn: c]의 값에 따라 다음과 같이 구한다.

(i) [eqn: c=1]일 때, [eqn: 1<d<5,~a>b>1]을 만족시키는 자연수의 개수는

[eqn: 3×_6 C_2 = 45] (개)

(ii) [eqn: c=2]일 때, [eqn: 2<d<5,~a>b>2]를 만족시키는 자연수의 개수는

[eqn: 2×_5 C_2 = 20] (개)

(iii) [eqn: c=3]일 때, [eqn: 3<d<5,~a>b>3]을 만족시키는 자연수의 개수는

[eqn: 1×_4 C_2 = 6] (개)

(iv) [eqn: c>=4]일 때, 조건을 만족하는 자연수는 존재하지 않는다.

이상에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 45+20+6=71](개)

ꂼ ③

30.

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 = -d-d+(a_1 + 4d)]

[eqn: = a_1 + 2d]

[eqn: = 4+2d = 28]

[eqn: therefore] [eqn: d=12]

따라서, [eqn: a_n = 4+(n-1) times 12 = 12n -8] 이므로

[eqn: lim from { n -> inf } a_n over n = lim from { n -> inf } 12n-8 over n]

[eqn: = lim from { n -> inf } left( 12 - 8 over n right) = 12]

ꂼ [eqn: 12`]