2008학년도 9월 모의평가 (수리영역-나형)  정답 및 해설

1.

[eqn: log_{{ 1} over {2 }} 2 + log_7 {{1} over {7 }}`= `- log_2 2 - log_7 7]

[eqn: =-1-1 =-2]

ꂼ ①

2.

[eqn: lim_n->inf``{6n^2 + n+1 } over {n^2 +1}`]

[eqn: = lim_n->inf``{6 + 1over n + 1over n^2 } over {1 + 1 over n^2`}`]

[eqn: = 6+0+0 over 1+0`]

[eqn: = 6`]

ꂼ ④

3.

[eqn: pmatrix{2&````1#5&````3} X= pmatrix{2&```1#0&````1}]에서

[eqn: X= pmatrix{2&````1#5&````3} ` ^{-1} `` pmatrix{2&```1#0&````1}]

[eqn: = pmatrix{``````3&````-1#-5&```````````2} pmatrix{2&`````1#0&``````1}]

[eqn: = pmatrix{``````````6&````````````2#-10&``````-3}]

따라서 [eqn: X]의 모든 성분의 합은 [eqn: -5]이다.

ꂼ ⑤

4.

[eqn: (2^x+y + 2^x-y )^2 - (2^x+y - 2^x-y )^2]

[eqn: = 2^2(x+y) + 2 cdot 2^x+y cdot2^x-y + 2^2(x-y)]

[eqn: -2^2(x+y) + 2 cdot 2^x+y cdot2^x-y - 2^2(x-y)]

[eqn: = 2 cdot 2^2x + 2 cdot 2^2x]

[eqn: =4cdot 2^2x]

[eqn: =2^{2x +2}]

ꂼ ②

5.

[eqn: P(A cup B)]

[eqn: =P(A)+P(B)-P(A cap B)]

[eqn: =P(A)+P(B)-P(A)P(B)]

[eqn: = 1over 3 + P(B) - 1 over 3 P(B)]

[eqn: = 2over 3 P(B) + 1over 3 = 4 over 5]

∴ [eqn: P(B) = 7 over 10]

∴ [eqn: P(B^c )=1-P(B)= 3over 10]

ꂼ ③

6.

행렬 [eqn: pmatrix{k-6 &-2 # 2&k-1}]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (k-6)(k-1) - (-2) cdot 2 =0], [eqn: k^2 - 7k+10=0]

[eqn: (k-2)(k-5)=0]

[eqn: therefore] [eqn: k=2] 또는 [eqn: k=5]

이 때, [eqn: k=2] 이면 [eqn: -4 over 2 = -2 over 1 not= 3 over -6] 이므로 해가 존재하지 않고

[eqn: k=5] 이면 [eqn: -1 over 2 = - 2 over 4 = 3 over -6] 이므로 해가 무수히 많다.

ꂼ ⑤

7.

여학생 2명이 입장하는 방법의 수는

[eqn: 2! = 2]

남학생 3명이 입장하는 방법의 수는

[eqn: 3! = 6]

따라서, 이 학생 5명이 입장하는 방법의 수는

[eqn: 2 times 6 = 12] (가지)

ꂼ ②

8.

(i) [eqn: x=2]일 때 [eqn: log_a 2 < log_b 2 <0]이므로

[eqn: 1 over {log_2 a} < 1 over {log_2 b} <0]

∴ [eqn: log_2 a > log_2 b]

∴ [eqn: a>b]

(ii) 함수 [eqn: y=c^x]의 역함수 [eqn: y=log_c x]의 그래프는 다음과 같이 곡선 [eqn: y=c^x]와 직선 [eqn: y=x] 위의 점 A에서 만난다.

따라서 (i)에서 [eqn: b>c]

(i), (ii)에서 [eqn: a>b>c]

ꂼ ①

9.

[eqn: a_n = S_n - S_n-1]

[eqn: = (2^n + 3^n ) - ( 2^n-1 + 3^n-1 )]

[eqn: = 2^n-1 + 2 cdot 3^n-1]

∴ [eqn: lim_n->inf a_n over S_n = lim _n->inf { 2^n-1 + 2 cdot 3^n-1 }over {2^n + 3^n }]

[eqn: = lim _n->inf { left( 2 over 3 right)^n-1 + 2 } over{2cdot left( 2 over 3 right)^n-1 + 3 }]

[eqn: = 2over 3]

ꂼ ④

10.

건전지의 수명은 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m,``3 ^{2} RIGHT )]을 따르므로 표본평균 [eqn: bar{X}]는 정규분포

[eqn: rm N LEFT ( it m,``` LEFT ( {3} over {sqrt {n}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따른다.

이 때, 주어진 확률은

[eqn: rm P LEFT ( it m-0.5 <= bar{X} <= m+0.5 RIGHT )]

[eqn: rm =P LEFT ( it {(m-0.5)-m} over {{3} over {sqrt {n}}} <= it {bar{X} -m} over {{3} over {sqrt {n}}} <= it {(m+0.5)-m} over {{3} over {sqrt {n}}} RIGHT )]

[eqn: rm =P LEFT ( - it {sqrt {n}} over {6} <= Z <= it {sqrt {n}} over {6} RIGHT )]

[eqn: rm =2P LEFT ( 0 <= it Z <= it {sqrt {n}} over {6} RIGHT )]

[eqn: =0.8664]

이므로

[eqn: ``` rm P LEFT ( it 0 <= Z <= {sqrt {n}} over {6} RIGHT ) =0.4332]

따라서 표준정규분포표를 이용하면

[eqn: {sqrt {n}} over {6} =1.5]이므로

[eqn: n=81]

ꂼ ③

11.

[eqn: n=k`(k>=2)`]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: a_k = k+1 over 3`]이다.

[eqn: A_k+1 = left{ 1,2,cdots , k , k+1`right}`]의 부분집합 중 원소가 2개인 모든 부분집합은,

[eqn: A_k`]의 부분집합 중 원소가 2개인 모든 부분집합에 [eqn: k`]개의 집합

[eqn: left{ 1, k+1 `right} ,`left{ 2, k+1 right} , `cdots , left{ k , k+1`right}`]

을 추가한 것이다.

[eqn: A_k`]의 부분집합 중 원소가 2개인 부분집합의 개수는 ꎴ [eqn: `_k rm C_2`] ꎵ이고,

[eqn: a_k = k+1 over 3`]이므로 [eqn: `_k rm C_2`]개의 부분집합에서 작은 원소를 뽑아 더한 합은

[eqn: `_k rmC_2 it × k+1 over 3`]

이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: a_k+1]

[eqn: = {leftꎴ``_k rmC_2 it × k+1 over 3 `rightꎵ`+ (1+2+ cdots + k )} over{ `_k+1 rmC_2}`]

[eqn: = k+2 over 3 = {(k+1)+1 } over 3`]

ꂼ ②

12.

A

B

①

②

③

④

⑤

2

4

①번 길을 이용하여 B로 가는 경우

[eqn: 1+3+4=8](가지)

②번 길을 이용하여 B로 가는 경우

[eqn: 3+1=4](가지)

③번 길을 이용하여 B로 가는 경우

[eqn: 1](가지)

④번 길을 이용하여 B로 가는 경우

[eqn: 1](가지)

⑤번 길을 이용하여 B로 가는 경우는 최단거리로 가는 경우가 아니다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 8+4+1+1=14](가지)

ꂼ ①

[다른 풀이]

(1) 각 갈림길까지 최단경로로 가는 경우의 수를 적으면 다음과 같다.

A

B

①

②

③

④

⑤

2

1

1

1

1

1

2

3

4

4

1

3

3

3

7

7

4

7

14

(2) 구하는 최단경로의 수는 다음 그림에서 A에서 B로 가는 최단경로의 수와 같다.

A

B

[eqn: THEREFORE] [eqn: 6! OVER 3!TIMES3! - 3! OVER 2! TIMES 2!]

[eqn: = 20-6 = 14]

13.

삼각형의 무게중심은 중선을

꼭지점으로부터 [eqn: 2``:``1]로 내분한다.

따라서 한 변의 길이가[eqn: a]인

정사각형 [eqn: A_n-1]내부에 들어 있는

작은 정사각형[eqn: A_n]의 한 변의 길이는

대각선 길이의 [eqn: { 1} over {3 }]이므로 [eqn: {a root2} over {3 }]

이다.

[eqn: ∴```SUM from { { n}=1} to inf `S_n = S_1 +S_2 +S_3 + ⋯]

[eqn: = 3^2 + 2+ { 2} over { 9} + ⋯]

[eqn: = { 9} over {1- { 2} over {9 } } = { 81} over {7 }]

ꂼ ⑤

14.

ㄱ. [eqn: left{ f``(-3)`right}^2 = (a^-3 `)^5 = a^-15`]

[eqn: f``(-15) = a^-15`]

∴ [eqn: left{ f``(-3)`right}^2 = f``(-15)`] (참)

ㄴ. [eqn: 0<a<1`]이므로 [eqn: y= f``(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: y=f``(x)`]

[eqn: y=a]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

따라서, [eqn: y=f``(x)`]의 그래프와 직선[eqn: y=a`]는 한 점에서 만난다. (참)

ㄷ. [eqn: y=a^x`]의 역함수는 [eqn: y= log_a``x`]이므로

[eqn: y= a^x``(x<=0 )`]의 그래프와 [eqn: y= log_a``x`(x>=1 )`]의 그래프는 직선[eqn: y= x`]에 대하여 대칭이다.

따라서, ㄴ에서 [eqn: y= f``(x)`]의 그래프는 직선[eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다. (참)

그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

15.

ㄱ. [eqn: 8A= pmatrix{8&8#8&8}]이므로

[eqn: L(8A)= pmatrix{log` _{2} `8&````log` _{2} `8#log` _{2} `8&`````log` _{2} `8}]

[eqn: = pmatrix{log` _{2} `2 ^{3}&````log` _{2} `2 ^{3}#log` _{2} `2 ^{3}&`````log` _{2} `2 ^{3}}]

[eqn: = pmatrix{3&```3#3&``3}]

[eqn: =`3` pmatrix{1&`````1#1&````1}]

[eqn: =3A]  <참>

ㄴ. [eqn: L(A)=E]에서

[eqn: pmatrix{log` _{2} `a&````log` _{2} `b`#log` _{2} `c&````log` _{2} d}][eqn: = pmatrix{1&`````0#0&````1}]

이므로

[eqn: log` _{2} `a`=`1], [eqn: log` _{2} `b```=0], [eqn: log` _{2} `c``=`1], [eqn: log` _{2} `d```=0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2], [eqn: b`=1], [eqn: c=2], [eqn: d`=1]

이 때, [eqn: A= pmatrix{2&````1#1&````2}]이고  [eqn: 2 CDOT 2`-`1 CDOT 1 != 0]이므로 행렬 [eqn: A]는 역행렬을 갖는다. <참>

ㄷ. [eqn: A^2 = PMATRIX{a&b#c&d}PMATRIX{a&b#c&d}]

[eqn: = pmatrix{a^2 +bc & ab+bd #ca+dc &cb + d^2}]

이므로

[eqn: L(A^2 ) = pmatrix{log_2 (a^2 + bc )& log_2 (ab+bd)# log_2 (ca+dc) & log_2 (cb+d^2 )}]

[eqn: 2 L(A) = 2 PMATRIX{log_2 a & log_2 b # log_2 c & log_2 d }]

[eqn: = pmatrix{log_2 a^2 & log_2 b^2 # log_2 c^2 & log_2 d^2}]

이 때, [eqn: L(A^2 ) = 2 L(A)] 이려면

[eqn: a^2 + bc = a^2]…㉠, [eqn: ab+bd = b^2]

[eqn: ca+dc=c^2], [eqn: cb + d^2 = d^2]

㉠에서 [eqn: bc=0]이므로 [eqn: b>0,~c>0]에 모순이다.

따라서, [eqn: L(A^2 ) = 2 L(A)]를 만족시키는 행렬 [eqn: A]가 존재하지 않는다. <거짓>

ꂼ ③

16.

[eqn: a_3 =14], [eqn: a_4 = 26`], [eqn: a_5 = 38],

[eqn: cdots`]

[eqn: a_n+1 = a_n + 12`] ([eqn: n>=3])

을 추론할 수 있다.

[eqn: b_k = a_k+2] ([eqn: k=1,``2,``3,``cdots])로 두면

[eqn: b_1 = 14, ``b_2 =26`]

[eqn: b_k+1 - b_k =12`]

∴ [eqn: b_k =12k + 2`]

∴ [eqn: a_20 = b_18 = 12 times 18 + 2]

[eqn: =218]

ꂼ ②

[다른풀이]

[eqn: a_3 =14], [eqn: a_4 = 26`], [eqn: a_5 = 38],

[eqn: cdots`]

[eqn: a_n+1 = a_n + 12`] ([eqn: n>=3])

을 추론할 수 있다.

∴ [eqn: a_20 = a_3 + 17 times12]

[eqn: = 14+17 times 12]

17.

과자 A의 길이 [eqn: X]가 [eqn: m+10] 이상일 확률은

[eqn: P ( X>= m+10 ) = P left( Z >= 10 over sigma_1 right)]

과자 B의 길이 [eqn: Y]가 [eqn: m+10] 이하일 확률은

[eqn: P ( Y<= m+10 ) = P left( Z <= -15over sigma_2 right)]

이 때, [eqn: P left( Z >=≧ 10 over sigma_1 right)][eqn: = P left( Z <= -15over sigma_2 right)]이므로

[eqn: 10 over sigma_1 = 15 over sigma_2]

∴ [eqn: sigma_2 over sigma_1 = 15 over 10 = 3 over 2]

ꂼ ①

18.

[eqn: sum from k=1 to 10 (k+2)(k-2)]

[eqn: = sum from k=1 to 10 ( k^2 - 4)]

[eqn: = 10times11times21 over 6 - 4 times 10]

[eqn: = 385-40 = 345]

ꂼ 345

19.

[eqn: sum from n=1 to inf a_n = sum from n=1 to inf 12 ( 1 over 3 )^n-1]

[eqn: = {12} over {1- 1 over 3} = 18]

ꂼ [eqn: 18`]

20.

진수 조건에서 [eqn: x-3>0,~x+1>0]이어야 하므로

[eqn: x>3] ⋯ ㉠

주어진 부등식을 변형하면

[eqn: log_3 (x-3)(x+1) < log_3 12]

[eqn: (x-3)(x+1)<12], [eqn: x^2 -2x -15 = (x-5)(x+3)<0]

∴ [eqn: -3 <x<5] ⋯  ㉡

따라서 ㉠, ㉡의 공통범위는

[eqn: 3<x<5]

∴ [eqn: a b = 3times 5 = 15]

ꂼ 15

21.

[eqn: a^2x - a^x =2 ``(a>0, ``a!=1)]에서

[eqn: a^x = t`]([eqn: >0])이라 하면

[eqn: t^2 - t-2=0]

[eqn: (t-2)(t+1)=0`]

[eqn: t>0`]이므로 [eqn: t=2`]

즉, [eqn: a^x = 2]

∴ [eqn: x= log_a 2`][eqn: = 1over 7`]

∴ [eqn: 2= a^{ 1 over 7 }]

∴ [eqn: a= 2^7 = 128`]

ꂼ [eqn: 128`]

22.

[eqn: (x+a)` ^{6}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{6} ` rm C _{it r rm} ` it a ^{6-r} `x ^{r}]

[eqn: x ^{4}]의 계수가 [eqn: x ^{5}]의 계수의 [eqn: 50]배이므로

[eqn: {} _{6} rm C it rm _{4} ` it a ^{2} ``=`50` _{6} ` rm C it rm _{5} `a]

[eqn: 15``a ^{2} `=`300`a]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=20]  [eqn: ( BECAUSE][eqn: a>0])

ꂼ 20

23.

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: α+β = k`],  [eqn: αβ = 125`]

세 수 [eqn: α , `β-α ,`β`]가 이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: (β-α)^2 = αβ`]

[eqn: α^2 - 2αβ + β^2 = αβ`]

[eqn: (α+β)^2 - 4αβ = αβ`]

[eqn: (α+β)^2 = 5αβ`]

[eqn: k^2 = 5 cdot 125 = 625`]

[eqn: k>0`]이므로 [eqn: k= 25`]

ꂼ [eqn: 25`]

24.

20개의 야구공 중에서 5개를 임의추출 할 때 그 중에 별모양이 그려진 야구공이 포함되어 있으면 경품을 받을 수 있으므로

경품을 받을 확률은

[eqn: { `_19 C_4} over {`_20 C_5 } = { 1} over {4 }]

경품을 받지 못할 확률은 [eqn: { 3} over {4 }]이다.

따라서 3상자를 구입하여 경품을 2개 받을 확률은

[eqn: `_3 C_2 LEFT ( { 1} over {4 } RIGHT ) ^2 { 3} over {4 } = { 9} over {64 }]

[eqn: ∴ ``p+q = 64+9 =73]

ꂼ 73

25.

[eqn: V_k = { k+1} over {k }]이므로

[eqn: D_k = 20 log V_k = 20 log { k+1} over {k }]

[eqn: ∴``S_9 = SUM from { { k}=1} to 9 D_k]                    [eqn: =20 LEFT ( log { 2} over {1 } + log { 3} over {2 } + log { 4} over {3 } + ⋯ +log { 10} over {9 } RIGHT )] [eqn: =20 LEFT ( log { 2} over {1 }× { 3} over {2 }× { 4} over {3 } ×⋯× { 10} over {9 } RIGHT )]

[eqn: = 20 log 10 =20]

ꂼ 20

26.

[eqn: A^2 = pmatrix{0&2#3&0}`pmatrix{0&2#3&0}`= pmatrix{6&0#0&6`}`]

[eqn: = 6E`] ([eqn: E`]는 단위행렬)

이므로

[eqn: A^3 = A^2 A = 6E cdot A = 6A``]

[eqn: A^4 = (6E)^2 = 6^2 E`]

[eqn: A^5 = A^4 A = 6^4 A`]

[eqn: A^6 = (6E)^3 = 6^3 E~]

[eqn: cdots cdots `]

[eqn: A^10 = 6^5 E`]

[eqn: A^11 = 6^5 A` = pmatrix{0&~2 cdot 6^5#3 cdot 6^5&~0}`]

∴ [eqn: c = 3 cdot 6^5 = 2^5 cdot 3^6`]

ꂼ ③

27.

3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공의 색깔이 모두 다른 사건을 [eqn: A]라 하면

[eqn: rm P( it A)`= {{} _{2} rm C _{1} TIMES ` _{2} ` rm C _{1} TIMES ` _{2} rm C _{1}} over {{} _{6} rm C _{3}}]

[eqn: = {8} over {20}][eqn: = {2} over {5}]

ꂼ ①

28.

[eqn: p_1 ,``p_2 , ``p_3`]가 이 순서로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2 p_2 = p_1 + p_3`]

이 때,  [eqn: p_1 +p_2 + p_3 = 1`]이므로

[eqn: 2p_2 = 1- p_2]

∴ [eqn: p_2 = 1over 3`]

한편, [eqn: p_2 = 1over 2 times left( 1over 2 a + 1over 2 b right) times (b-a)]

[eqn: = 1over 4 times left( a + b right) times (b-a) = 1over 3`]

이 때, [eqn: a+b= 4 over 3`] [eqn: cdots㉠]

이므로 [eqn: b-a = 1`][eqn: cdots㉡]

㉠, ㉡에서

[eqn: a= 1over 6 , ``b= 7 over 6]

ꂼ ④

29.

주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다.

	A	B	A[eqn: cap] B	A[eqn: cup]B
여학생	45	72	17	100
남학생	105	108	13	200
계	150	180	30	300

따라서 구하는 확률은

[eqn: P(여 |A ∩B) = 17 over 30]

ꂼ ④

30.

[eqn: log x^2 over y = logx^2 - logy]

[eqn: = 2 logx - logy]

[eqn: = 2 ( 6+ alpha)-(1+beta )]

[eqn: = 11 + 2alpha - beta]

이 때, [eqn: 0< 2 alpha< 1 over2], [eqn: -1< -beta < - 1 over2] 이므로

[eqn: -1< 2 alpha-beta < 0]

따라서, [eqn: log x^2 over y = 11+ 2 alpha -beta]

[eqn: = 10+(1+ 2 alpha - beta )]

이고 [eqn: x^2 over y]의 정수 부분이 [eqn: n]자리의 수이므로

[eqn: n-1 = 10]

[eqn: therefore] [eqn: n= 11]

ꂼ [eqn: 11`]